Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Тригонометрические функции, их свойства и графики.». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток [– 1; 1].
- Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn.
- Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
- Функция y=ctg(α) — нечетная: ctg(−α)=−ctg α.
- Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y при (π/2+πn;π(n+1)),n∈Z.
- Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x.
- Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z.
Геометрия 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА
Тригонометрия. Основные тригонометрические тождества.
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям
Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.
Возьмем единичную окружность , отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A 1 (x, y) .
Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти , если точка А 1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.
Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.
Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.
Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .
Для синуса и косинуса это сделать просто.
По определению синус угла α — это ордината точки А 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.
В свою очередь косинус угла α — это абсцисса точки A 1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.
Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.
Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.
В тригонометрии не обойтись без формул — как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.
Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.
Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).
Соотношения сторон и их связь с функциями:
- Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
- Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
- Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
- Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
- Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
- Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.
Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 — 90° (0 — π/2 рад.).
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
- Множество значений — интрервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
- Функция y=sin(α) — нечетная: sin(−α)=−sinα.
- Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(α+2π)=sin(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈ Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n∈Z и y при (π+2πn;2π+2πn),n∈Z.
- Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinα)′=cosα.
- Функция y=sinα возрастает при α∈(−π/2+2πn;π/2+2πn) n∈Z, и убывает при α∈(π2+2πn;3π2+2πn), n∈Z.
- Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈Z.
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
- Множество значений — интервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
- Функция y=cos(α) — четная: cos(−α)=cosα.
- Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(α+2π)=cos(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z и y при (π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z.
- Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα.
- Функция y=cosα возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z, и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z.
- У функции есть минимум при α=π+2πn,n∈Z, а максимум при α=2πn,n∈Z.
- Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.
- Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
- Функция y=tg(α) — нечтная: tg(−α)=−tg α.
- Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α).
- График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z.
- Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y при (−π/2+πn;πn),n∈Z.
- Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x.
- Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈Z.
Обратные тригонометрические функции.
Для sin х,cos х,tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x»), arcos x, arctg x и arcctg x. По определению, arcsin х есть такое число у, что
sin у = х.
Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.
Если отразить sin х,cos х,tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.
Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной p, при этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Для синуса вкачестве «интервала взаимной однозначности» берется отрезок [–p/2, p/2], на котором синус монотонно возрастает от –1 до 1, для косинуса – отрезок [0, p], для тангенса и котангенса соответственно интервалы (–p/2, p/2) и (0, p). Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x0, такое, что 0 Јx0Ј1. Тогда значением функции y0= arcsin x0будет единственное значение у0,такое, что –p/2 Ј у0Јp/2 и x0= sin y0.
Формулы кратных углов.
Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:
sin 2a = 2 sin a cos a;
cos 2a = cos2a – sin2a = 2 cos2a – 1 = 1 – 2 sin2 a;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin3a;
cos 3a = 4 cos3a – 3 cos a;
Формулу для cos 3a использовал Франсуа Виет при решении кубического уравнения. Он же впервые нашел выражения для cos na и sin na, которые позже были получены более простым путем из формулы Муавра.
Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги — контроль • Ценные бумаги — оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит
Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика
Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством
Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики
Многие события, происходящие в природе — восход и закат солнца, появление комет, сезонные изменения температуры воздуха, всплеск и затухание волн в океане и т.п., являются циклически повторяющимися событиями. Процесс по производству оборудования, движение частей машины и т.д., так же могут быть заданы периодической функцией. Исследуем периодические переменные на примере. Работа станка по нарезке ленты. В фирме по производству измерительной ленты имеется станок, при помощи которого тонкая лента разрезается на кусочки по 3 м и сворачивается. График работы станка и описание принципа работы висит на стене.
В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. На- пример, угол АОВ, изображенный в первом пункте таблицы 5, — это угол, образованный лучами ОА и ОВ.
Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч ОА около точки О от начального положения ОА до конечного положения ОВ, также получим угол АОВ. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча ОА как по часовой стрелке, так и против нее.
Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток [– 1; 1].
Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).
Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.
Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .